Problemário Matemáticas

1.- La producción en killgramos de cierta hortaliza en un invernadero depende de la temperatura en °C, según la función  donde x está en °C y Q(x) en kilogramos. Calcula la temperatura óptima a mantener en el invernadero, y la producción de hortaliza que se obtendría si se mantiene la temperatura óptima.

Para que la función Q(x) alcance un máximo →  Q'(x) = – 3×2 + 60x + 63 = 0- x2 + 20x + 21 = 0 􀃆 x2 – 20x – 21 = 0

x = 2

20 ± 400 + 84= 2

20 ± 22

x1 = 21 x2 = – 1

x1 = 21 ¿Máximo o mínimo? x2 = – 1 ¿Máximo o mínimo?

Estudiamos la derivada segunda para conocer dónde se encuentra el máximo y el mínimo:

Q”(x) = – 6x + 60

Q”(21) = – 66 < 0 MÁXIMO Q”(- 1) = 66 > 0 MÍNIMO

La temperatura óptima para la máxima producción de hortaliza en el invernadero es de 21 ºC.

La producción de hortaliza para x = 21 será:

Q(x) = (x + 1)2 (32 – x)

Q(21) (21 + 1)2 (32 – 21) = 5324

La temperatura óptima para la máxima producción de hortaliza en el invernadero es de 21 ºC, momento en el que dicha producción alcanzará los 5324 kilogramos.

 

2.- Un ranchero tiene 600 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima.

Tenemos que el perímetro y el área de los corrales son, respectivamente:

P = 4x + 3y = 600 & A = 2xy

: Pero como y = 600 4x/3 :

A.(x) = 2x.(600 4x)/ 3 = 400x-8/3×2 :

Derivando y obteniendo los puntos críticos:

A´(x) = 400-16/3x = 0         16/3x = 400          x = 3 * 400/16 = 150/2 es el punto crítico

y como

A´´(x) = -16/3 < 0, entonces se trata de un máximo.

El área máxima ocurre para x = 150/2m & y = 600-300/3 = 100m, que son las dimensiones pedidas.

 

3.- Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un rıo. El prado ha de tener 180 000 m2 para proporcionar suficiente pasto.¿Que dimensiones debe tener para que requiera la menor cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al r´ıo? D: H Dibujamos el prado:

El ´area del prado es: A = xy = 180 000 m2

El per´ımetro que queremos minimizar es P = 2x + y.

Despejando y de la expresi´on del ´area: y = 180 000 x, y sustituyendo en la expresi´on del per´ımetro, tenemos una funci´on de una sola variable: P(x)=2x + 180 000 x .

Sus puntos cr´ıticos se hallan cuando P 0

(x) = 0, es decir, 2 − 180 000 x2 = 0 ⇔ x2 = 180 000 2 = 90 000 ⇔ x ± 300 m.

Desechamos x = −300

Como P 00(x)=2180 000 x3 = 360 000 x3 .

vemos que P 00(300) > 0.

Luego para x = 300 m & y = 600 m tenemos la menor cantidad de cerca posible.

 

4.- Se quiere hacer una caja sin tapa cortando cuadros congruentes de las esquinas de una hoja de lámina de 12 x 12 cm y doblando sus lados. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados que se se corten en las esquinas para que la caja tenga un volumen máximo?

Tu lámina mide 12×12, y queremos cortarle cuadrados que midan x de lado.

El volumen de tu caja viene determinado por la fórmula:
V=12-2x(12-2x)(x)
Si eliminamos paréntesis:
(144-48x+4x²)x
144x-48x²+4x³
Derivamos:
V’ = 144-96x+12x²
ordenamos e igualamos a cero
12x²-96x+144=0
Dividimos la ecuación entre 12
x²-8x+12=0
Factorizamos:
(x-2)(x-6)=0
Las soluciones son : 2 y 6
SI x=6 no existe material con el cual hacer la caja.
Así que la solución es x=2 y el volumen es 64 pulgadas cúbicas.

5.- El propietario de 40 departamentos tiene rentados todos a un precio de 24000 el mes cada uno. Por cada 240 que el propietario aumenta el precio observa que pierde a un inquilino. ¿A que precio le conviene rentar los departamentos para obtener la mayor ganancia posible?

Entonces:

Función Beneficio: B(x) = (40 – x)·(24000 + 240x) = 960000 + 72000x – 240×2

Derivando: B´(x) = 72000 – 480x

Igualando a cero: B´(x) = 0 ⇒ 72000 – 480x = 0 ⇒ x = 72000/480 = 150, posible máximo ó mínimo.

Hallando la segunda derivada: B´´(x) = – 480

Sustituyamos el posible máx. ó mín. en dicha derivada:

B´´(15) = – 480 < 0 ⇒ Máximo: x = 150 ⇒

Precio que debe aumentar a cada piso: 240·150 = 36000

Solución: Le deberá aumentar 36000 el precio de cada piso.

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