1er selectivo de Yucatán 2009

Este problema me gustó del 1er selectivo de Yucatán:

Demuestra que para toda n, la fracción \frac{n^3 + 2n}{n^4 + 3n + 1} es irreducible.

¿tareas?

bueno jóvenes ¿qué pasa? no he recibido mensaje de ustedes ¿cómo van las tareas?

Sumas y subconjuntos

Escoge 10 números del conjunto {1, 2, 3, …, 100}. Demuestra que ese conjunto de 10 números siempre se puede dividir en 2 subconjuntos de tal forma que la suma de los elementos del primero es igual a la suma de los elementos del segundo.

Sumando…

Demuestra las siguientes identidades:

  • 1\cdot 4 + 2\cdot 7 + 3\cdot 10 + \cdots + n(3n+1) = n^3 +2n^2 + n.
  • 1^2+ 3^2 + 5^2 + 7^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}.

Tres problemillas

  • Escoge 7 números enteros positivos distintos que sumen 100. Prueba que hay 3 tales que suman más de 49.
  • Prueba que 5^{5k+1}+4^{5k+2} + 3^{5k} es divisible por 11, para todo entero positivo k.
  • Demuestra que 3^{105} + 4^{105} es divisible por 13 y 49 pero no por 5 ni 11.

Steinhaus. A Hundred Problems in Elementary Mathematics

Sumando 15

Alicia y Beto juegan a escoger por turnos números del conjunto {1,2,…,9}. El primero en escoger tres números que sumen 15 gana. La primera en escoger es Alicia. ¿Tiene ella una estrategia ganadora?

Winkler – Mathematical Puzzles: A Connoiseur’s Collection

Estonia

Dos problemas de los abiertos de Estonia, uno «juniors» y otro «seniors» (no digo cual es cual).

  • Si a, b son enteros positivos y primos relativos y además \frac{a+b}{a-b} es un entero positivo, prueba que alguno de los números ab+1 ,  4ab+1 es un cuadrado perfecto.
  • El profesor ha escogido enteros positivos a, b tales que \frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{b} es un entero. Samuel hace las siguientes afirmaciones, demuestra o da contraejemplos de las mismas:
    • Cada divisor primo de b es divisor de a.
    • Se cumple siempre b\leq a

Irracionales y enteros

Sea u_n = (3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n.

  1. Prueba que u_n es entero para toda n entera positiva
  2. Demuestra que 2^n divide a $u_n$.
  3. Demuestra que el menor entero mayor a (3 + \sqrt{5})^n es divisible por $2^n$.

Enzo Gentile. Aritmética elemental en la Formación Matemática

Tarea 8 de julio

Por si no lo copiaron, tarea para mañana  miércoles 8:

  • Sean p, q dos primos tales que q = p+2  y p>3. Prueba que 12 divide a p+q.
  • Encuentra todos los enteros a tal que a^2 - 77 es un cuadrado perfecto.
  • Si U_n = 111\cdots 1 consta de n unos:
    • demuestra que si U_n es primo, entonces n también.
    • ¿Para qué valores de n resulta U_n primo?
  • Si a_n = \frac{10^n +2}{3} y b_n = \frac{2\cdot 10^n + 1}{3} prueba que a_n, b_n son enteros.   Además, calcula a_n^2, b_n^2 y deduce una propiedad general para formar esos números.
  • Si a, n son enteros positivos y a>1, encuentra el residuo de dividir 1+a+a^2 + \cdots + a^n entre $a-1$. ¿Para qué valores de n se cumple (a-1)^2 divide a a^n-1?

Teoría de números: 5 problemas

Bueno, me tocó entrenar teoría de números a Michoacán. Así que estos días estaré poniendo problemas de teoría de números.

Del libro de Enzo Gentile:

  • Prueba que la suma de cuatro números consecutivos nunca es un cuadrado perfecto.
  • Prueba que 2^n +1 nunca es un cubo.
  • ¿Puede ser el número A=111…1 (300 unos) ser un cuadrado perfecto?
  • Demuestra que para todo n natural,
    • 3^{2n+1} + 2^{n+2} es múltiplo de 7.
    • 3^{2n+2} + 2^{6n+1} es múltiplo de 11.
  • Demuestra que la ecuación 5^x + 2 = 17^y no tiene soluciones enteras

Problema de autobuses

Subes a un autobús con 6 pasajeros. En la primera parada, suben cuatro personas y bajan dos. En la siguiente parada suben siete y bajan cinco. En la tercera parada suben ocho ybajan dos. En la siguiente parada suben trece y se bajan ocho, ¿cual es la edad del conductor?

¿Comenzaste a llevar la cuenta mientras leías el problema? Si lo hiciste, esta es la primera lección: ¡no empieces a resolver un problema antes de leerlo!

Tomado del libro Mathematics as Problem Solving, de Alexander Soifer. El punto es que aunque en este caso es obvio que el número de pasajeros no es relevante a la pregunta, en muchos problemas no es así y hay que leer el problema con calma y detalle (de hecho, todos los problemas en un examen) antes de empezar a resolverlos.

Uno para entrenadores

Bueno, con esto de la influenza supongo que se retrasó la premiación y por tanto los entrenamientos.

Mientras tanto, dejo entonces un problema para entrenadores.

Sean a(x), b(x), c(x), d(x) polinomios con coeficientes reales. Sean
p=\int_1^t ac\,d x,\quad q=\int_1^t ad\,dx,\quad r=\int_1^t bc\,dx,\quad s=\int_1^t bd\,dx.

Prueba que ps-qr es divisible por (t-1)^4.

Tomado del Maths Problems Notebook de  Bijou.